안녕하세요. 이번 시간에는 supremum (상한)과 infimum (하한)의 성질에 대해 알아보겠습니다. 굉장히 유용한 성질이니까요. 꼭 익혀보세요.
이 글을 보기 위해 꼭 봐야하는 글:
[해석학] 실수의 Supremum (상한,최소상계), infimum (하한,최대하계)의 정의 및 예시
[해석학] Upper bound (상계), Lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bound (아래로 유계)
Supremum(상한)의 성질
실수집합의 부분집합 $A \neq \emptyset$가 존재한다고 합시다. 그리고 이 집합 $A$는 upper bounded 라고 합시다. 그리고 $s:=\sup(A)$라고 합시다. 그 때, 임의의 $\epsilon >$에 대하여 다음을 만족하는 $a \in A $가 존재합니다.
$$ s - \epsilon < a \leq s \tag{1}\label{1}$$
(증명) 귀류법을 사용해 봅시다. ($\ref{1}$)을 만족하지 않는 $\epsilon>0$이 존재하지 않는다고 가정해보겠습니다. 그렇게 된다면 $\epsilon>0$이 존재해서 모든 $a \in A $에 대하여 $a \leq s-\epsilon $입니다. 그런데 이렇게 되면 모든 $a \in A$에 대하여 $a \leq s-\epsilon$이므로 $s-\epsilon$은 $A$의 upper bound 이죠. 그런데 $s=\sup(A)$보다 작은 원소인 $s-\epsilon$이 $A$의 upper bound라는 것은 $s=\sup(A)$가 $A$의 upper bound 중에 가장 작은 원소라는 사실에 모순입니다. 따라서 증명이 완료됩니다.
Infimum(상한)의 성질
실수집합의 부분집합 $A \neq \emptyset$가 존재한다고 합시다. 그리고 이 집합 $A$는 lower bounded 라고 합시다. 그리고 $i:=\inf(A)$라고 합시다. 그 때, 임의의 $\epsilon >$에 대하여 다음을 만족하는 $a \in A $가 존재합니다.
$$ s\leq a < s+\epsilon \tag{2}\label{2}$$
위의 infimum 의 성질 $(\ref{2})$은 supremum 의 성질과 비슷하므로 생략해보도록 하겠습니다.